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Proporcionalidade Inversa

Matemática · 9.º Ano · Aprendizagens Essenciais

f(x) = kx

💡 Percurso sugerido

🌍 Explora situações reais

Começa pelos Contextos — usa os sliders para ver como grandezas reais variam inversamente e descobre intuitivamente o que é a proporcionalidade inversa.

📚 Compreende a teoria

Estuda a definição, a expressão f(x) = kx e as propriedades. Usa o Simulador para ver como k transforma a curva.

✏️ Treina com exercícios

Resolve os exercícios da Prática Guiada — básico, intermédio e avançado — para consolidar os conceitos.

🏆 Prepara-te para o exame

Resolve os Exercícios de Provas Finais de 9.º Ano com problemas reais de Provas Finais e soluções completas.

🌍 Exploração em Contextos Reais

Mexe nos sliders e observa o que acontece!

💰 Situação 1 — Aluguer de espaço (120 €)

Um grupo de amigas pretende alugar um espaço para uma festa, cujo custo total é de 120 €. Esse valor será dividido igualmente por todas as participantes, dependendo do número de amigas no grupo.

Nº de amigas:

Nº amigas

€/amiga

Total €

120

⚠️ Gráfico não desenhado à escala

Quando o número de amigas duplica, o que acontece ao custo por amiga?

🔑 Interpreta a constante

Neste contexto, o que representa k = 120?

👷 Situação 2 — Obra de construção (240 h)

Uma equipa precisa de concluir uma obra que exige 240 horas de trabalho no total. Quanto maior for o número de trabalhadores, menor será o número de horas que cada um terá de trabalhar, mantendo-se constante o trabalho necessário.

Nº trabalhadores:

Trabalhadores

Horas

120

Constante

240

Se o número de trabalhadores triplicar, o que acontece ao número de horas necessárias para concluir a obra?

🔑 Interpreta a constante

Neste contexto, o que representa k = 240?

🚗 Situação 3 — Viagem de 240 km

Um carro precisa de percorrer uma viagem de 240 km. A velocidade influencia o tempo necessário para concluir o percurso, mantendo-se sempre constante a distância total.

Velocidade (km/h):

Velocidade (km/h)

Tempo (h)

Distância (km)

240

⚠️ Gráfico não desenhado à escala

Se a velocidade duplicar, o que acontece ao tempo de viagem?

🔑 Interpreta a constante

Neste contexto, o que representa k = 240?

🔄 Comparação — Direta vs Inversa (no mesmo contexto de viagem)

🔵 Proporcionalidade Inversa

Viagem de 240 km — velocidade e tempo

• Velocidade ↑ → Tempo ↓

• Velocidade × Tempo = 240 (constante)

t = 240v

Exemplo:
96 km/h, quanto tempo demora?
t = 24096 = 2,5 h

🟣 Proporcionalidade Direta

Conversão de horas em minutos

1 hora = 60 minutos

Mais horas → mais minutos (ambas crescem)

min = 60 × h

Exemplo:

Quanto é 2,5 h em minutos?
1 h ——→ 60 min
2,5 h ——→ x
x = 2,5 × 60 = 150 min = 2 h 30 min

❓ Porquê proporcionalidade direta?

✏️ Aplica: 3,25 h = ?

            1 h  ——→  60 min

            3,25 h ——→  x

x = = h min

💡 A diferença fundamental:
Na proporcionalidade inversa o produto é constante (v × t = 240).
Na proporcionalidade direta o quociente é constante (min ÷ h = 60).

🔬 Situação 4 — Densidade e Volume (conexão com Físico-Química)

Uma amostra tem sempre a mesma massa: 480 g.
densidade (d) e o volume (V) variam, mas o seu produto é sempre constante:
d × V = massa = 480 g/cm³·cm³ = 480

Densidade (g/cm³):

Densidade (g/cm³)

Volume (cm³)

Massa (g)

480

⚠️ Gráfico não desenhado à escala

Se a densidade do material duplicar (mantendo a mesma massa), o que acontece ao volume?

🔑 Interpreta a constante

Neste contexto, o que representa k = 480?

🔗 Conexão com Físico-Químicafórmula da densidade é d = mV. Para uma massa fixa, densidade e volume são inversamente proporcionais: materiais mais densos ocupam menos volume.
Exemplo:
O ouro (d ≈ 19,3 g/cm³) ocupa muito menos volume do que a cortiça (d ≈ 0,2 g/cm³) para a mesma massa.

📚 Teoria — Proporcionalidade Inversa

1Definição

Uma grandeza é inversamente proporcional a outra quando o produto dos valores correspondentes é constante e não nulo. O valor desse produto designa-se por constante de proporcionalidade inversa.

Exemplo:
A tabela seguinte relaciona o ângulo de visão com a velocidade de condução.

Ângulo (°)	100	75	45	30
Velocidade (km/h)	40	70	100	130

A velocidade de condução não é inversamente proporcional ao ângulo de visão, porque o produto dos valores correspondentes não é constante.
Por exemplo: 100 × 40 = 4000 e 75 × 70 = 5285.

Prova Nacional de Matemática – 2009, 2.ª chamada

✏️ Agora experimenta

Baile de finalistas

Um grupo de alunos está a organizar o baile de finalistas e decidiu alugar um espaço de festas, dividindo o custo total em partes iguais. Inicialmente, estimava-se a participação de 60 alunos, sendo que cada um teria de pagar 45 €.

Qual é o custo total do aluguer do espaço?

Custo total = €

Mais tarde, inscreveram-se mais 30 alunos. Quanto terá de pagar agora cada aluno?

Novo valor por aluno = €

Ideia importante Se o custo total se mantém fixo, o valor a pagar por aluno é inversamente proporcional ao número de alunos.

Produto constantex · y = k (constante)

x · y = k

2Expressão algébrica
Expressão algébrica:
Uma função de proporcionalidade inversa é uma função dada por uma expressão da forma y = k x ou f(x) = k x (com k > 0 e x > 0).
k é a constante de proporcionalidade inversa, sendo k = f(1).

f(x) = kx , x > 0 e k > 0

✏️ AGORA EXPERIMENTA

Exercício — Densidade e volume

A densidade de uma substância representa-se pela letra grega ρ e obtém-se dividindo a massa da substância, m, pelo seu volume, V.

ρ = mV

Calcula a massa de uma esfera maciça de alumínio, com 120 cm³ de volume, cuja densidade é 2,7 g/cm³.

Massa =g

Considera duas esferas com a mesma massa: uma de ferro e outra de algodão. Sabe-se que o ferro é mais denso do que o algodão. Qual das esferas terá maior volume?

Na tabela apresenta-se a relação entre a densidade e o volume de quatro amostras de substâncias diferentes, todas com 720 g de massa.

Substância	A	B	C	D
Densidade (g/cm³)	0,4	0,8	1,2	1,8
Volume (cm³)	1800	900	600	400

a) As variáveis densidade e volume são inversamente proporcionais? Justifica a tua resposta.
porque o dos respetivos valores das variáveis volume e densidade constante.

b) Escolhe a expressão analítica que relacionA densidade ρ e o volume V.

c) Uma quinta amostra, de outra substância, com a mesma massa, tem densidade 1,6 g/cm³. Qual é o volume dessa amostra?

Volume =cm³

3As três representações (k = 12)

Maria tem um saco de ração para alimentar os seus patos. A quantidade de ração disponível é fixa. Verificou que, se tiver 1 pato, a ração dura 12 dias.

Maria quer perceber durante quantos dias consegue alimentar os patos, dependendo do número de patos.

📊 a) Completa a tabela

N.º de patos (x)	Dias (y)	x·y
1	12	12
2
3
4
6
12

📈 Gráfico

⚠️ Gráfico não desenhado à escala

Neste contexto, o número de patos só pode assumir valores inteiros. Por isso, os pontos são discretos e a linha tracejada serve apenas de apoio visual.

b) O número de patos e o número de dias são diretamente ou inversamente proporcionais?

c) A Maria tinha 12 patos e vendeu 4. Durante quantos dias dura agora a ração?

Dias =

d) Escreve a expressão que relaciona o número de patos, x, com o número de dias, y.

4Ramo de hipérbole

Nota teórica

O gráfico de uma função de proporcionalidade inversa é uma curva designada por ramo de hipérbole.

Os pontos do gráfico de uma função de proporcionalidade inversa não estão, como na proporcionalidade direta, sobre uma reta, mas sim sobre uma curva.

Nos pontos que pertencem ao gráfico, o produto da abcissa, x, pela respetiva ordenada, y, é constante e igual à constante de proporcionalidade inversa.

✏️ AGORA EXPERIMENTA

Trabalho em grupo

👨‍🎓👨‍🎓👨‍🎓 → ⏱️ 8 horas

Um grupo de alunos está a realizar um trabalho. Se trabalharem 3 alunos, o trabalho fica concluído em 8 horas.

O ponto (3, 8) representa esta situação no gráfico: 3 alunos correspondem a 8 horas de trabalho.

📈 Contexto visual do ponto (3, 8)

O ponto (3, 8) significa: 3 alunos → 8 horas.

Se trabalharem 6 alunos, quanto tempo demora o trabalho?

Tempo = horas

Se trabalharem 5 alunos, quanto tempo demora o trabalho?

Tempo = horas

🔬 Simulador — Função de proporcionalidade inversa (x > 0)

Neste simulador considera-se apenas k > 0 e x > 0. Por isso, o gráfico aparece no 1.º quadrante, como acontece em muitos contextos reais.

Ideia-chave Quando x aumenta, o valor de y diminui, mantendo-se constante o produto x · y = k.

Constante k:

f(x) = 12x com k > 0 e x > 0

📈 Gráfico no 1.º quadrante

⚠️ Gráfico não desenhado à escala

x varia entre 1 e 60

📊 Tabela de valores

x	y	x·y

Produto constante x · y = 12

Expressão algébrica y = 12x

🔭 Simulador completo — gráfico da função f(x)=kx

Altera k e observa a representação completa da função, incluindo os dois ramos da hipérbole.

Nota Se refletirmos o ramo do 1.º quadrante pela origem, obtemos o outro ramo da hipérbole. Assim, para k > 0, o gráfico surge no 1.º e no 3.º quadrantes; para k < 0, surge no 2.º e no 4.º quadrantes.

Constante k:

f(x) = 12x

📈 Gráfico (eixos centrados)

⚠️ Gráfico não desenhado à escala

k>0 → 1.º e 3.º quadrantes | k<0 → 2.º e 4.º quadrantes

📊 Tabela de valores

x	y	x·y

Produto constante x · y = 12

Expressão algébrica y = 12x

✏️ Exercícios Práticos

Progresso: 0/10 concluídos

Começa o desafio 💡

🟢 Nível básico

E1Completar tabela

★★★

A função f é definida por f(x) = 36x. Completa os valores que faltam:

x	y = 36x
2
3
4
6
8

E2Calcular k

★★★

A função f de proporcionalidade inversa tem f(4) = 15. Qual é o valor de k?

k =

E3 Gráfico → expressão

★★★

A expressão algébrica que define a função de proporcionalidade inversa representada graficamente é:

x	2	4	6
y	4	6	8

x	2	4	6
y	6	3	2

x	2	4	6
y	4	8	12

🏆

Exercícios Adaptados de Exames Nacionais

Provas Finais 3.º Ciclo · 2002–2024

10 Exercícios com Soluções Completas

0/10 resolvidos

0 pts

Exercício 1 Prova Final 2024 · 2.ª fase

🔁 Rever Função Afim: aceder aqui

Dados:

📈 Figura ilustrativa

⚠️ Gráfico não desenhado à escala

função f é afim. Os pontos A(0,7) e B(4,9) pertencem ao gráfico de f. O ponto C pertence ao gráfico de f e ao gráfico da função g de proporcionalidade inversa, com abcissa 2.

Qual é uma expressão algébrica da função g?

🔍 Resolução passo a passo

Passo 1 – Expressão de f:
f é afim e passa em A(0,7): f(x) = mx + 7. Como B(4,9) pertence: 9 = 4m + 7 → m = 12. Logo f(x) = 12x + 7

Passo 2 – Ordenada do ponto C:
y_C = f(2) = 12×2 + 7 = 1 + 7 = 8. Logo C = (2, 8).

Passo 3 – Constante k de g:
g(x) = kx e C(2,8) pertence a g: 8 = k2 → k = 16

g(x) = 16x → Opção D ✓

Exercício 2 Prova Final 2023 · Época especial

🔁 Rever Função Afim: aceder aqui

Dados:

📈 Figura ilustrativa

⚠️ Gráfico não desenhado à escala

f(x) = ax (a > 0, x > 0) e g(x) = 34x + 2. Os gráficos de f e g intersectam-se no ponto P de abcissa 4.

Qual é o valor de a?

a =

🔍 Resolução

Ordenada do ponto P:
g(4) = 34×4 + 2 = 3 + 2 = 5. Logo P = (4, 5).

Calcular a:
P pertence a f: f(4) = a4 = 5 → a = 5×4 = 20

a = 20 ✓

Exercício 3 Prova Final 2022 · 2.ª fase

Dados:

📈 Figura ilustrativa

⚠️ Gráfico não desenhado à escala

função g de proporcionalidade inversa tem o ponto P(3, 12) no seu gráfico.

Qual das opções apresenta uma expressão que define g?

🔍 Resolução

Calcular k:
k = x × y = 3 × 12 = 36

g(x) = 36x → Opção C ✓

Exercício 4 Prova Final 2022 · 1.ª fase

🔁 Rever Função Afim: aceder aqui

Dados:

📈 Figura ilustrativa

⚠️ Gráfico não desenhado à escala

função f é linear: f(x) = 4x. A função g é de prop. inversa. Os gráficos intersectam-se no ponto A de abcissa 3.

Calcula g(2).

g(2) =

🔍 Resolução

Ponto A tem abcissa 3 e pertence a f:
y_A = f(3) = 4×3 = 12. Logo A = (3, 12).

pertence também a g → calcular k:
k = 3 × 12 = 36. Logo g(x) = 36x.

Calcular g(2):
g(2) = 362 = 18

g(2) = 18 ✓

Exercício 5 Prova Final 2019 · 2.ª fase

Contexto:

Um grupo de 4 amigos ia contribuir com 12 € cada para oferecer um cheque-presente. Antes da compra, juntaram-se mais 2 amigos. O contributo de cada participante é inversamente proporcional ao número de participantes.

Qual é o valor (em euros) com que cada amigo contribuiu afinal?

euros

🔍 Resolução

Valor total do cheque:
k = 4 × 12 = 48 €

Novo número de participantes:
4 + 2 = 6 amigos

Contributo de cada um:
486 = 8 €

Cada amigo contribuiu com 8 € ✓

Exercício 6 Prova Final 2019 · 1.ª fase

Tabela (x e y inversamente proporcionais):

x	y
10	9
15	a

Determina o valor de a.

a =

🔍 Resolução

Como x·y = k (constante):
10 × 9 = 15 × a

Resolver:
90 = 15a → a = 9015 = 6

a = 6 ✓

Exercício 7 Prova Final 2016 · Época especial

Dados:

📈 Figura ilustrativa

⚠️ Gráfico não desenhado à escala

O gráfico de uma função de prop. inversa contém os pontos (4,8; 30) e (a, a), com a > 0.

Qual é o valor de a?

a =

🔍 Resolução

Calcular k:
k = 4,8 × 30 = 144

O ponto (a,a) pertence ao gráfico:
a = 144a → a² = 144

Como a > 0:
a = √144 = 12

a = 12 ✓

Exercício 8 Prova Final 2015 · 2.ª fase

Dados:

📈 Figura ilustrativa

⚠️ Gráfico não desenhado à escala

função f de prop. inversa contém o ponto (2; 5).

Determina a ordenada do ponto do gráfico que tem abcissa 3,2.

🔍 Resolução

Calcular k:
k = 2 × 5 = 10. Logo f(x) = 10x.

Calcular f(3,2):
f(3,2) = 103,2 = 3,125

ordenada é 3,125 ✓

Exercício 9 Prova Final 2014 · 1.ª chamada

Tabela (x e y inversamente proporcionais):

x	y
15	20
12	a

Determina o valor de a.

a =

🔍 Resolução

k = 15 × 20 = 300

12 × a = 300 → a = 30012 = 25

a = 25 ✓

Exercício 10 Exame Nacional 2007 · 2.ª chamada

Enunciado:

x e y são duas grandezas inversamente proporcionais. Das quatro afirmações, apenas uma é sempre verdadeira.

Se x aumenta para o dobro, o que acontece a y?

🔍 Explicação

Propriedade fundamental:
x·y = k (constante). Se x multiplica por n, então y divide por n.

Exemplos:
x dobra (×2) → y fica metade (12)
x triplica (×3) → y fica a terça parte (13)

Opção D: y diminui para metade ✓

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